函數與導數專題2012版教師版B4_doc

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東北師大附中2009級高三數學(理)第二輪復習導學案

專題六 導數及其應用

編寫教師:高長玉

一、考綱要求

1.導數概念及其幾何意義

(1)了解導數概念的實際背景. (2)理解導數的幾何意義. 2.導數的運算

(1)能根據導數定義求函數2

(),,,,,y C C y x y x y x y y x x

=====

=為常數的導數.

(2)能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數. (3)能求簡單的復合函數(僅限于形如()f ax b +的復合函數)的導數. 3.導數在研究函數中的應用

(1)了解函數單調性和導數的關系,能利用導數研究函數的單調性,會求函數的單調區

間(其中多項式函數一般不超過三次).

(2)了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件;會用導數求函數的極大值、極小

值(其中多項式函數一般不超過三次);會求閉區間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數一般不超過三次).

4.生活中的優化問題:會利用導數解決某些實際問題 5.定積分與微積分基本定理

(1)了解定積分的實際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念. (2)了解微積分基本定理的含義. 二、命題趨勢

函數是高考數學的重點內容之一,函數的觀點和思想方法貫穿整個高中數學的全過程,包括解決幾何問題.在近幾年的高考試卷中,選擇題、填空題、解答題三種題型中每年都有函數試題,而且常考常新.以基本函數為背景的應用題和綜合題是高考命題的主要趨勢.

考試熱點:①考查函數的表示法、定義域、值域、單調性、奇偶性、函數的圖象.②函

數與方程、不等式、數列是相互關聯的概念,通過對實際問題的抽象分析,建立相應的函數模型并用來解決問題,是考試的熱點.③考查運用函數的思想來觀察問題、分析問題和解決問題,滲透數形結合和分類討論的基本數學思想. 三、典例解析

(一)利用導數研究曲線的切線

考情聚焦:1.利用導數研究曲線()y f x =的切線是導數的重要應用,為近幾年高考命題的熱點.

2.常與函數的圖象、性質及解析幾何知識交匯命題,多以選擇、填空題或以解答題中關鍵一步的形式出現,屬容易題. 考向鏈接:1.導數的幾何意義

函數()y f x =在0x 處的導數()f x '的幾何意義是:曲線()y f x =在點00(,())P x f x 處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數()s t 對時間t 的導數). 2.求曲線切線方程的步驟:

(1)求出函數()y f x =在點0x x =的導數,即曲線()y f x =在點00(,())P x f x 處切線的斜率;

(2)在已知切點坐標00(,())P x f x 和切線斜率的條件下,求得切線方程為

000()()y y f x x x '-=-.

注:①當曲線()y f x =在點00(,())P x f x 處的切線平行于y 軸(此時導數不存在)時,

由切線定義可知,切線方程為0x x =;

②當切點坐標未知時,應首先設出切點坐標,再求解.

求切線問題 例1.若曲線331x y =

上一點??

?

??38,2P ,求: (1)點P 處的切線方程;

(2)過點P 的切線方程。

解:(1)2

x y =',則當2=x 時,4='y .

點P 處的切線方程為()243

-=-x y .即016312=--y x . (2)設所求的切線與曲線33

1x y =相切于點()00,y x ,則切線斜率為2

0x .由直線方程點斜

式,得切線方程為()020303x x x x y -=-

.又因為所求切線過點P ,則有()02

38x x x -=-,解此三次方程,得20=x 或1-,從而過點的切線的斜率為4或1,可求出切點為??

?

??38,2、

??? ?

?

--31,1,相應的切線方程為016312=--y x 或0233=+-y x .

切線個數的問題:

例2.已知函數()x x x f -=3

.

(1)求曲線()x f y =在點()()t f t M ,處的切線方程;

(2)設0>a ,如果過點()b a ,可作曲線()x f y =的三條切線,證明:()a f b a <<-. 分析:本題第一問,由導數的幾何意義容易求解切線方程問題;第二問難點在于由條件“過點()b a ,可作曲線()x f y =的三條切線”找到解題的切入點,關鍵是先把問題轉化為方程問題來求解.





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